/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum

Zadanie nr 4395608

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na paraboli o równaniu 2 y = x + 6x + 5 znajdź współrzędne punktu A , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x − 1 3 jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku i niech A = (x ,y) będzie szukanym punktem.

PIC

Korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y 0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 ,

wiemy, że odległość punktu A od podanej prostej 2x − y − 13 = 0 jest równa

|2x − y − 13| |2x − y− 13| d = ---√--------- = -----√-------. 4 + 1 5

Fajnie byłoby opuścić wartość bezwzględną – aby to zrobić musimy wiedzieć jaki jest znak wyrażenia 2x − y − 13 . Z rysunku widzimy, że punkty na paraboli są powyżej danej prostej, tzn. dla takich punktów y > 2x − 13 , zatem 2x − y − 1 3 < 0 . Opuszczamy więc wartość bezwzględną ze znakiem minus i uwzględniamy równość 2 y = x + 6x + 5 .

|2x − y − 1 3| 1 d(x) = -----√------- = √--(y − 2x + 13) = 5 5 -1-- 2 -1-- 2 = √ 5-(x + 6x + 5 − 2x + 13) = √ 5(x + 4x + 1 8).

Pozostało wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji d(x ) . Wartość ta jest przyjmowana w wierzchołku paraboli, czyli dla −b- x = 2a = − 2 . Wtedy

f(− 2) = (− 2)2 − 12 + 5 = − 3

i A = (− 2,− 3) .  
Odpowiedź: A = (− 2,− 3)

Wersja PDF