Zadanie nr 7579442

W układzie współrzędnych dany jest punkt A = (9,4) . Na okręgu o równaniu (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7 wyznacz współrzędne punktu , dla którego odległość |AB | jest największa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Powinno być jasne, że punkt , dla którego odległość |AB | jest największa to jeden z końców średnicy okręgu wyznaczonej przez prostą , gdzie O = (1,2 ) jest środkiem okręgu. Tak jest, bo okrąg o środku i promieniu jest styczny do danego okręgu.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równania prostej . Do równania postaci y = ax + b podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 4 = 9a + b 2 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8a = 2 , czyli a = 1 4 . Zatem

1- 7- b = 2− a = 2 − 4 = 4

i prosta ma równanie y = 1x+ 7 4 4 . Szukamy teraz punktów wspólnych tej prostej z danym okręgiem.

( ) 2 (x− 1)2 + x-+ 7-− 2 = 17 4 4 ( ) 2 (x− 1)2 + x-− 1- = 17 4 4 2 1 2 (x− 1) + --(x − 1) = 1 7 16 (x− 1)2 = 17 ⋅ 16-= 16 17 x− 1 = − 4 ∨ x − 1 = 4 x = − 3 ∨ x = 5.

Mamy wtedy odpowiednio 1 7 y = 4x + 4 = 1 i 1 7 y = 4x + 4 = 3 . Zatem B = (− 3,1) lub B = (5,3 ) . Patrząc na obrazek (lub licząc odległości ) stwierdzamy, że interesujący nas punkt to .