/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum

Zadanie nr 7945833

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki A i B leżą na odcinku o końcach (0,0) i (4,0) , a dwa pozostałe wierzchołki C i D leżą na paraboli o równaniu y = 2x − 12 x2 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz obwód tego z rozpatrywanych prostokątów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy A = (t,0) to B = (4 − t,0) , ( 1 2) D = t,2t− 2t . Stąd

AB = 4 − 2t 1-2 AD = 2t− 2t .

Pole prostokąta jest więc równe

( ) P(t) = (4 − 2t)⋅ 2t − 1-t2 = (2 − t)(4t− t2) = t3 − 6t2 + 8t. 2

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,2) . Liczymy jej pochodną.

′ 2 P (t) = 3t − 12t + 8.

Rozkładamy otrzymany trójmian.

√ -- 2 Δ = 144 − 96√ =- 48 = (4√ 3-) √ -- √ -- 12− 4 3 2 3 1 2+ 4 3 2 3 t1 = ----------= 2 − ----, t2 = ---------- = 2 + -----. 6 3 6 3

To oznacza, że na przedziale (0,t1) pochodna jest dodatnia, a na przedziale (t1,2) pochodna jest ujemna. To z kolei oznacza, że funkcja P(t) rośnie na przedziale (0,t1⟩ i maleje na przedziale ⟨t1,2) . Największe pole otrzymamy więc dla 2√-3 t = t1 = 2 − 3 . Mamy wtedy

( ) ( √ -) 2 1-2 1- 2 1- 2--3- AB + AD = (4− 2t)+ 2t − 2 t = 4 − 2 t = 4− 2 2− 3 = ( √ -- ) ( √ -- ) √ -- 1 8 3 1 2 1 8 3 4 4 4 3 = 4− -- 4− -----+ --- = 4 − -- 4− -----+ -- = --+ ----. 2 3 9 2 3 3 3 3

Obwód prostokąta jest dwa razy większy

8- √ -- 2(AB + AD ) = 3(1 + 3).

 
Odpowiedź: 8(1 + √ 3-) 3

Wersja PDF