Zadanie nr 8457009

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 9x−45 f (x) = x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .

ZINFO-FIGURE

Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktów i .

( ) ( ) D = (0,f (0)) = 0, 45 = 0, 15- . 6 2

Aby wyznaczyć współrzędne punktu rozwiązujemy równanie

9x − 4 5 = 0 ⇐ ⇒ x = 5.

Zatem B = (5 ,0 ) .

Aby obliczyć pole czworokąta ABCD dzielimy go na 2 trójkąty przekątną .

ZINFO-FIGURE

Jeżeli C = (x,f (x)) , to interesujące nas pole jest równe

P (x) = P + P = 1AB ⋅f(x )+ 1AD ⋅x = ABC ADC 2 2 5 9x− 45 1 1 5 45 x − 5 1 5 = --⋅ --------+ --⋅---x = ---⋅------+ ---x = 2 ( x− 6 2 2) 2 x − 6 4 = 45- x-−-6-+ --1--- + 15x = 2 x − 6 x− 6 4 45 45 1 15 = ---+ ---⋅------+ --x. 2 2 x − 6 4

Liczymy pochodną tej funkcji.

( ) P ′(x) = 45-⋅ 0-⋅(x-−-6)-−-1⋅-1+ 15-= 15-⋅ − ---6-----+ 1 . 2 (x − 6 )2 4 4 (x − 6)2

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa 0.

---6-----= 1 (x− 6)2 (x − 6)2 = 6 √ -- √ -- x− 6 = − 6 lub x − 6 = 6 √ -- √ -- x = 6 − 6 lub x = 6 + 6 .

Drugie rozwiązanie nie należy do dziedziny (0,5) interesującej nas funkcji. Zauważmy jeszcze, że funkcja ( ) ′ 15 ---6-- P (x ) = 4 ⋅ − (x−6)2 + 1 jest malejąca w przedziale (0 ,5) (bo y = − (x− 6)2 jest rosnąca na tym przedziale), więc pochodna w punkcie x = 6− √ 6- zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że w tym punkcie funkcja P(x ) ma maksimum i jest to wartość pierwszej współrzędnej szukanego wierzchołka , dla której pole czworokąta ABCD jest największe. Obliczmy jeszcze drugą współrzędną