Zadanie nr 8703130

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x + x − 5x − 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x− 22 jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Ze względu na skomplikowany wzór danego wielomianu trudno oczywiście zrobić dokładny rysunek, więc rysujemy schematycznie o co może chodzić w zadaniu. Niech

( ) A = (x,y ) = x , 1x 4 + x 3 − 5x 2 − 2 2x+ 50 4

będzie szukanym punktem.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 .

|Ax-0√-+-By-0 +-C|- A 2 + B 2 ,

Odległość punktu od podanej prostej y − 2x + 22 = 0 jest więc równa

|y − 2x + 22| |1x 4 + x 3 − 5x 2 − 2 2x+ 50 − 2x + 22| d = ---√---------= -4----------------√------------------- = 1+ 4 5 |1x4 + x3 − 5x2 − 24x + 72 | = -4----------√--------------. 5

Aby ustalić jaka jest najmniejsza możliwa wartość tego wyrażenia musimy zbadać funkcję, która znajduje się pod wartością bezwzględną.

1 4 3 2 f (x) = 4-x + x − 5x − 24x + 72 ′ 3 2 f (x) = x + 3x − 10x − 2 4.

Aby rozłożyć otrzymany wielomian stopnia 3 szukamy jego pierwiastków całkowitych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego można znaleźć pierwiastek x = − 2 . Dzielimy teraz f′(x) przez (x + 2) , my zrobimy to grupując wyrazy.

x3 + 3x2 − 10x − 24 = (x3 + 2x2) + (x2 + 2x) − (12x + 2 4) 2 2 = x (x + 2) + x(x + 2 )− 1 2(x+ 2) = (x + 2)(x + x − 12 ).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.

x2 + x − 12 = 0 Δ = 1+ 48 = 49 −-1−-7- −-1+--7 x = 2 = − 4 ∨ x = 2 = 3.

Pochodna jest więc równa

f′(x) = (x + 4)(x + 2)(x − 3 ).

Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziałach (− 4,− 2) i (3,+ ∞ ,) , oraz ujemna w przedziałach (−∞ ,− 4 ) i (− 2,3 ) .

To oznacza, że funkcja rośnie w pierwszych dwóch przedziałach i maleje w dwóch kolejnych. W szczególności w punktach x = − 4 i x = 3 funkcja ma minima lokalne i w jednym z tych punktów przyjmuje najmniejszą swoją wartość. Aby ustalić w którym, liczymy f(− 4) i f (3) .

1 f(− 4) = --⋅25 6− 64− 80+ 96+ 72 = 88 4 f(3) = 1-⋅81 + 2 7− 4 5− 72+ 72 = 81-− 18 = 81-−-7-2 = 9-. 4 4 4 4

Widzimy zatem, że funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i jej najmniejszą wartość otrzymujemy dla x = 3 . To oznacza, że interesująca nas odległość punktu od danej prostej