Zadanie nr 8972309

Wykres funkcji kwadratowej 2 2 f(x) = (1 − m )x − mx + m przecina oś w punktach i , które leżą po dwóch różnych stronach osi . Wyznacz tę wartość parametru , dla której iloczyn odległości punktów i od początku układu współrzędnych jest najmniejszy możliwy. Dla wyznaczonej wartości oblicz sumę odległości punktów i od początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Naszkicujmy opisaną sytuację.

Sprawdźmy najpierw, kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe. Oczywiście musi być m ⁄= 1 oraz

0 < Δ = m 2 − 4m 2(1− m) = m2(1 − (4 − 4m )) = m 2(4m − 3) 3 (m ⁄= 0 ∧ 3 < 4m ) ⇐ ⇒ --< m. 4

Równanie ma więc dwa różne rozwiązania dla

( ) m ∈ 3-,1 ∪ (1,+ ∞ ). 4

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = 1m−m -m2- x 1x2 = 1−m

Zauważmy teraz, że informacja o tym, że miejsca zerowe funkcji znajdują się po dwóch różnych stronach osi oznacza, że x1x2 < 0 , czyli

m 2 ------ < 0 ⇐ ⇒ (m ⁄= 0 ∧ 1 − m < 0 ) ⇐ ⇒ 1 < m. 1 − m

Pozostaje wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

-m-2-- g(m ) = |x1|⋅|x2| = −x 1x2 = m − 1 ,

określonej dla m > 1 .

Liczymy pochodną

( 2 )′ 2 ′ -m---- 2m-(m--−-1)-−-m--⋅1- g (m) = m − 1 = (m − 1)2 = 2 = m--−-2m--= m-(m-−--2). (m − 1 )2 (m − 1)2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale (1,2) i dodatnia na przedziale (2 ,+∞ ) . To oznacza, że funkcja maleje na przedziale (1,2⟩ i rośnie na przedziale ⟨2 ,+∞ ) . To z kolei oznacza, że w m = 2 funkcja ma minimum lokalne, które jednocześnie jest najmniejszą wartością funkcji.

Pozostało teraz obliczyć sumę odległości punktów i od początku układu współrzędnych. W tym miejscu łatwo popełnić błąd – bo nie jest to suma x 1 + x 2 , tylko |x 1|+ |x2| . Obliczymy tę sumę na dwa sposoby.