/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 3

Zadanie nr 2706408

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x) = x3 − 2x 2 − x + 2 wiedząc, że W (− 1) = − 1, W (2) = 2, W (1) = 5 .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

3 2 2 2 x − 2x − x + 2 = x (x− 2)− (x− 2) = (x − 1)(x − 2) = = (x− 1)(x+ 1)(x − 2).

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez P (x) jest stopnia 2 (reszta ma zawsze stopień niższy, niż stopień wielomianu, przez który dzielimy), czyli

W (x) = (x − 1)(x + 1 )(x − 2)Q (x)+ ax2 + bx + c,

dla pewnych a,b,c . Z podanych informacji wiemy, że W (− 1) = − 1 , W (1) = 5 i W (2) = 2 . Podstawiając te wartości w powyższej równości mamy

( |{ − 1 = a − b + c 5 = a + b + c |( 2 = 4a + 2b + c

Odejmując od drugiego równania pierwsze, a od ostatniego drugie, dostajemy

{ 6 = 2b − 3 = 3a+ b

Z pierwszego równania mamy b = 3 , a z drugiego

3a = − 3 − b = − 6 ⇒ a = − 2.

Mamy ponadto c = − 1 − a + b = 4 . Szukana reszta jest więc równa

R (x) = − 2x 2 + 3x+ 4.

 
Odpowiedź: 2 R (x) = − 2x + 3x + 4

Wersja PDF