Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7253604

Wiedząc, że wielomian  3 2 W (x ) = x + ax + bx + 1 jest podzielny przez wielomian (x− 1)2 , oblicz a i b .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Dzielimy W (x) przez  2 x − 2x + 1 nie przejmując się parametrami. My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 W (x) = x + ax[ + bx+ 1 = (x − 2x + x )+ (a]+ 2)x + (b − 1)x + 1 = = x(x − 1)2 + (a + 2)x 2 − 2(a + 2)x + (a+ 2 ) + (b − 1 + 2a + 4 )x + 1− a − 2 = = x(x − 1)2 + (a + 2)(x − 1)2 + (b + 2a + 3)x − a − 1.

Otrzymany wielomian liniowy jest resztą dzielenia i zgodnie z założeniem musi być zerowy. Stąd

{ b+ 2a+ 3 = 0 −a − 1 = 0.

Z drugiego równania mamy a = − 1 , co w połączeniu z pierwszym daje b = −1 .

Sposób II

Tym razem będziemy bardziej ’szkolni’. Sprawdzamy kiedy x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu W (x ) .

0 = W (1) = 1 + a+ b+ 1 ⇒ a + b = − 2.

Dzielimy teraz W (x ) przez x− 1 . Najłatwiej to zrobić schematem Hornera, ale my będziemy grupować wyrazy.

W (x) = x 3 + ax2 + (− 2− a )x+ 1 = (x3 − x2) + (a+ 1)x2 − (a+ 1)x − x + 1 = 2 = (x − 1)(x + (a + 1)x − 1).

Trójmian w nawiasie też musi się dzielić przez x − 1 , czyli x = 1 musi być jego miejscem zerowym. Daje nam to

0 = 1+ a+ 1 − 1 ⇒ a = − 1.

Stąd b = − 2 − a = − 1 .

Sposób III

Zadanie można bardzo łatwo rozwiązać używając pochodnych. Łatwo zauważyć, że jeżeli jakaś liczba jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu, to jest też pierwiastkiem jego pochodnej. Tak jak poprzednio zauważamy, że a + b = − 2 . Drugie równanie dostaniemy z faktu, że x = 1 jest pierwiastkiem pochodnej.

 ′ 2 W (x) = 3x + 2ax + b 0 = W ′(1) = 3 + 2a + b.

Mamy zatem układ równań

{ a+ b = − 2 2a+ b = − 3

Odejmując od drugiego równania pierwsze, mamy a = − 1 , stąd b = − 1 .

Sposób IV

Bardzo proste rozwiązanie otrzymamy jeżeli skorzystamy ze wzorów Viète’a dla wielomianów stopnia 3. Wiemy, że wielomian ma mieć dwa pierwiastki równe 1, a ze wzorów Viète’a mamy

x x 2x3 = − 1. 1

Zatem trzeci pierwiastek musi być równy -1 i mamy

W (x) = (x+ 1)(x− 1)2 = (x + 1)(x2 − 2x + 1 ) = 3 2 2 3 2 = x − 2x + x + x − 2x + 1 = x − x − x + 1.

Więcej o wzorach Viète’a można poczytać w poradniku.

Sposób V

Wiemy, że wielomian W (x ) musi mieć postać

W (x) = (x − 1)2(x − s) = (x2 − 2x + 1)(x − s) = x3− x2(s+ 2 )+ x(1 + 2s)− s,

dla pewnego s . Mamy więc równość

 3 2 3 2 x − x (s+ 2 )+ x (1+ 2s )− s = x + ax + bx+ 1.

Porównując wyrazy wolne mamy s = − 1 . Wtedy porównując współczynniki przy x2 i x mamy a = − 1 i b = − 1 .  
Odpowiedź: a = b = − 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!