Zadanie nr 7997712
Wykaż, że jeżeli wielomian jest podzielny przez
, to wielomian
jest podzielny przez
.
Rozwiązanie
Jeżeli jest podzielny przez
![3 3 2 (x + 3) = x + 9x + 27x + 27,](https://img.zadania.info/zad/7997712/HzadR1x.gif)
to
![3 3 2 W (x ) = (x+ 3) Q (x) = (x + 9x + 27x + 27)Q (x)](https://img.zadania.info/zad/7997712/HzadR2x.gif)
dla pewnego wielomianu . Liczymy teraz pochodną – korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu.
![[ ] W ′(x) = (x + 3)3 ′Q (x) + (x + 3)3Q ′(x) = [ 3 2 ]′ 3 ′ = x + 9x + 27x + 27 Q (x) + (x + 3) Q (x ) = ( 2 ) 3 ′ = 3x + 18x + 27 Q (x)+ (x + 3) Q (x ) = 2 3 ′ = 3(x + 3) Q (x) + (x + 3) Q (x) = = (x + 3)2[3Q (x )+ (x + 3)Q ′(x)] .](https://img.zadania.info/zad/7997712/HzadR4x.gif)
Widać teraz, że rzeczywiście dzieli się przez
.