/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 3

Zadanie nr 9482322

Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany (x − 1),(x + 2),(x − 3 ) daje reszty odpowiednio równe 5, 2, 27. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P (x) = x 3 − 2x 2 − 5x+ 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

2 3 2 (x − 1 )(x+ 2)(x− 3) = (x + x − 2)(x − 3) = x − 2x − 5x + 6 = P (x).

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez P (x) jest stopnia 2 (reszta ma zawsze stopień o 1 niższy niż stopień wielomianu, przez który dzielimy), czyli

2 W (x) = (x − 1)(x + 2 )(x − 3)Q (x)+ ax + bx + c,

dla pewnych a ,b ,c . Z podanych informacji wiemy, że W (1) = 5 , W (− 2) = 2 i W (3) = 27 . Podstawiając te wartości w powyższej równości mamy

( |{ 5 = a+ b+ c 2 = 4a− 2b + c |( 2 7 = 9a + 3b + c

Odejmując od drugiego równania pierwsze, a od ostatniego drugie, dostajemy

{ − 3 = 3a − 3b 25 = 5a+ 5b { − 1 = a − b 5 = a + b

Dodając te równania stronami mamy a = 2 , stąd b = 3 i c = 0 .  
Odpowiedź: 2x 2 + 3x

Wersja PDF