/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 4/Z parametrem

Zadanie nr 2772796

Dla jakich wartości parametru m wielomian 4 3 2 W (x ) = 2x − 2x − 6x + 1 0x+ m ma pierwiastek trzykrotny?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Najprostsze rozwiązanie otrzymamy używając pochodnej. Łatwo uzasadnić, że x0 jest pierwiastkiem k –krotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy gdy jest pierwiastkiem (k− 1) – krotnym jego pochodnej. W naszej sytuacji chcemy aby W (x ) , W ′(x) i W ′′(x ) miały wspólny pierwiastek. Liczymy

W ′(x ) = 8x3 − 6x2 − 12x + 1 0 ′′ 2 2 W (x) = 24x − 12x − 12 = 12 (2x − x− 1).

Zobaczmy jakie pierwiastki ma otrzymany trójmian kwadratowy.

Δ = 1 + 8 = 9 1 − 3 1 1 + 3 x1 = ------= − -, x 2 = ------= 1. 4 2 4

Łatwo sprawdzić, że 1 jest pierwiastkiem W ′(x) , a − 1 2 nie jest. Zatem potencjalnym pierwiastkiem trzykrotnym wyjściowego wielomianu jest x = 1 . Ponieważ wiemy już, że jest to pierwiastek W ′(x ) i W ′′(x) wystarczy sprawdzić kiedy jest to pierwiastek W (x) .

0 = W (1) = 2− 2− 6+ 1 0+ m ⇒ m = −4 .

Sposób II

Jeżeli wielomian ma mieć pierwiastek 3–krotny, to musimy mieć równość

4 3 2 3 2x − 2x − 6x + 10x + m = 2(x− a) (x − b) 4 3 2 m- 3 2 2 3 x − x − 3x + 5x + 2 = (x − 3x a + 3xa − a )(x − b) 4 3 2 m- 4 3 2 2 3 3 2 2 3 x − x − 3x + 5x + 2 = x − 3x a + 3x a − xa − x b + 3x ba− 3xba + a b 3 2 m 3 2 2 2 3 3 − x − 3x + 5x + -- = −x (3a+ b)+ 3x (a + ba)− x(3ba + a ) + a b. 2

Daje to nam układ równań

( || 3a+ b = 1 |{ a2 + ba = a(a+ b) = − 1 2 3 2 ||| 3ba + a = a (3b + a) = − 5 ( a3b = m-. 2

Z pierwszego równania wyliczamy b = 1 − 3a i wstawiamy do drugiego

a(a + 1 − 3a) = − 1 2 2a − a − 1 = 0 1 a1 = − -, a2 = 1 . 2

Łatwo sprawdzić, że 1 a = − 2 i 5 b = 2 prowadzi do sprzeczności w 3 równaniu. Zatem a = 1 i b = 1 − 3a = − 2 . Stąd

3 m = 2a b = − 4.

Sposób III

Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania ax4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 .

( | x1 + x2 + x3 + x4 = − b ||{ a c x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x 3 + x 2x 4 + x 3x4 = a || x1x2x3 + x1x2x 4 + x 1x3x4 + x2x3x4 = − d |( e a x1x2x3x4 = a.

W naszej sytuacji równanie ma mieć pierwiastek 3–krotny a i jeszcze jeden pierwiastek b , zatem

( || 3a + b = 1 |{ 2 3ab + 3a = − 3 ||| a3 + 3a2b = − 5 ( a3b = m. 2

No i mamy ten sam układ równań co w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: m = − 4

Wersja PDF