Zadanie nr 6136024
Pierwiastki wielomianu tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny o sumie wyrazów równej zero. Wiadomo ponadto, że
. Oblicz współczynniki
i
. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Rozwiązanie
Jeżeli pierwiastki wielomianu są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to możemy je oznaczyć jako: . Wiemy ponadto, że suma wyrazów tego ciągu jest równa zero, więc

Pierwiastki wielomianu są więc równe

To oznacza, że wielomian ma postać

Pozostało teraz skorzystać z podanego warunku .

Podstawiamy i mamy

Są zatem dwa wielomiany spełniające warunki zadania:

Odpowiedź: