Zadanie nr 6758682
Dla jakich wartości parametru równanie
ma dokładnie dwa różne rozwiązania?
Rozwiązanie
Podstawiamy i mamy równanie kwadratowe
![2 2 t + 2(p − 2)t + p − 1 = 0](https://img.zadania.info/zad/6758682/HzadR1x.gif)
Aby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa pierwiastki, powyższe równanie kwadratowe musi mieć dokładnie jeden pierwiastek dodatni (da on nam dwa -y). Sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki.
![0 ≤ Δ = 4(p − 2)2 − 4(p2 − 1) = ( ) = 4(p2 − 4p + 4 − p 2 + 1 ) = 4(− 4p + 5) = − 16 p− 5- 4 ( 5⟩ p ∈ − ∞ ,-- . 4](https://img.zadania.info/zad/6758682/HzadR3x.gif)
Sprawdźmy teraz kiedy dokładnie jeden z pierwiastków jest dodatni.
Na początek sprawdźmy sytuacje gdy , czyli gdy
. Mamy wtedy równanie
![( )2 t2 − 3t+ 9--= t − 3- . 2 16 4](https://img.zadania.info/zad/6758682/HzadR6x.gif)
W tej sytuacji otrzymujemy równanie z jednym dodatnim pierwiastkiem, więc będą spełnione warunki zadania.
Jeżeli to pytamy się kiedy pierwiastki są różnych znaków (żeby dostać 2, a nie 4 wartości
). Na mocy wzorów Viète’a tak będzie, gdy
![0 > t1t2 = p 2 − 1 = (p − 1)(p + 1) ⇐ ⇒ p ∈ (− 1,1).](https://img.zadania.info/zad/6758682/HzadR9x.gif)
Łącząc otrzymane rozwiązania, otrzymujemy więc .
Odpowiedź: