/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 4/Z parametrem

Zadanie nr 6951058

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 4x 4 + 4mx 2 + 4m + 5 = 0 ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek

x 4+ x 4+ x 4+ x 4≤ − 31m . 1 2 3 4 18

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym więc podstawiamy t = x 2 .

4t2 + 4mt + 4m + 5 = 0.

Aby dane równanie 4-tego stopnia miało cztery pierwiastki powyższe równanie musi mieć dwa różne pierwiastki dodatnie (bo t = x2 ). Na początek sprawdźmy kiedy równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

0 < Δ = 16m 2 − 16(4m + 5) / : 16 2 0 < m − 4m − 5 Δ = 16 + 2 0 = 36 m1 = 4−--6-= − 1, m2 = 4+--6-= 5 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (5,+ ∞ ).

Teraz trzeba jeszcze sprawdzić, kiedy pierwiastki te są dodatnie. Na mocy wzorów Viète’a tak będzie, gdy

{ 4m- 0 < t1 + t2 = − 4 = −m 0 < t1t2 = 4m4+5 = m + 54 { m < 0 − 5 < m. 4

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę daje to 5 m ∈ (− 4,− 1) .

Jeżeli t1 i t2 są pierwiastkami równania kwadratowego, to pierwiastki oryginalnego równania są równe √ -- ± t1 i √ -- ± t2 . Zatem

x 4+ x 4+ x 4+ x 4= t2+ t2 + t2+ t2 = 2 (t2 + t2). 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2

Na mocy wzorów Viète’a suma ta jest równa

( ( ) ) 2 2 2 2 5 2(t1 + t2) = 2((t1 + t2) − 2t1t2) = 2 m − 2 m + 4- = ( ) 2 5- 2 = 2 m − 2m − 2 = 2m − 4m − 5.

Otrzymujemy stąd nierówność

31 2m 2 − 4m − 5 ≤ − --m / ⋅18 18 36m 2 − 72m − 9 0 ≤ − 31m 2 36m − 41m − 9 0 ≤ 0 Δ = 4 12 + 4 ⋅36 ⋅90 = 14641 = 1 212 m = 41-−-121-= − 80-= − 10, m = 41+--121-= 162-= 9- 1 ⟨ 72 ⟩ 72 9 2 72 7 2 4 10 9 m ∈ − ---,-- . 9 4

Ponieważ

10 10 5 − ---> − ---= − -- 9 8 4

w połączeniu z wcześniejszą nierównością na m mamy

⟨ ) 10 m ∈ − --,− 1 . 9

 
Odpowiedź: ⟨ 10 ) m ∈ − -9 ,− 1

Wersja PDF