Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8124705

Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania  4 2 x + mx − m = 0 jest dwuelementowy?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Równanie jest dwukwadratowe, podstawmy więc  2 t = x .

 2 t + mt − m = 0

Na początek sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania

 2 Δ = m + 4m = m (m + 4)

Widać więc, że dla m ∈ (− 4,0) nie w ogóle rozwiązań. Dla m = − 4 mamy rówanie

t2 − 4t + 4 = (t − 2)2 = 0,

które daje dwa rozwiązania  √ -- ± 2 wyjściowego równania.

Jeżeli m = 0 to mamy równanie t2 = 0 i wyjściowe równanie ma tylko jeden pierwiastek x = 0 .

Pozostała sytuacja, gdy równanie  2 t + mt − m = 0 ma dwa różne (i niezerowe) pierwiastki. Zauważmy, że każdy dodatni pierwiastek tego równania daje dwa pierwiastki wyjściowego równania. Zatem równanie to musi mieć jeden pierwiastek ujemny i jeden dodatni (bo ma dwa, a jak ma dwa dodatnie to jest źle). Na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków jest równy − m , zatem pierwiastki będą różnych znaków tylko dla m > 0 .

Łącząc wszystkie rozważone przypadki mamy m = − 4 lub m ∈ (0,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: m = − 4 lub m ∈ (0,+ ∞ )

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!