Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8556164

Wyznacz wszystkie liczby całkowite m , dla których równanie

 4 3 2 2 x − 5mx + (m − 6)x + 4mx − 1 = 0

nie ma rozwiązań wymiernych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wiemy, że wymierne rozwiązania danego równania muszą być postaci p q , gdzie q dzieli współczynnik przy x4 , a p dzieli wyraz wolny (tu jest ważne, że liczba m jest liczbą całkowitą, dzięki temu możemy stosować twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianów). W naszej sytuacji oznacza to, że pierwiastek wymierny musi być równy − 1 lub 1.

Sprawdźmy kiedy -1 jest pierwiastkiem

1+ 5m + m 2 − 6 − 4m − 1 = 0 2 m + m − 6 = 0 Δ = 1+ 2 4 = 25 m = − 3 ∨ m = 2.

Teraz sprawdźmy kiedy 1 jest pierwiastkiem

 2 1− 5m + m − 6 + 4m − 1 = 0 m 2 − m − 6 = 0 Δ = 1+ 2 4 = 25 m = − 2 ∨ m = 3.

W każdym innym przypadku wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.  
Odpowiedź: m ∈ C ∖ {− 3,− 2,2,3}

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!