Zadanie nr 8914961
Zbadaj, dla jakich wartości parametru równanie
ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste.
Rozwiązanie
Podstawiając mamy równanie
![2 (m − 2)t − 2(m + 3)t + m + 1 = 0.](https://img.zadania.info/zad/8914961/HzadR1x.gif)
Aby wyjściowe równanie miało cztery pierwiastki, powyższe równanie musi być kwadratowe () oraz musi mieć dwa pierwiastki dodatnie (każdy z nich da dwa
-y).
Sprawdźmy na początek kiedy równanie ma dwa pierwiastki.
![0 < Δ = 4 (m + 3)2 − 4(m + 1)(m − 2) = = 4 (m2 + 6m + 9 − m 2 + m + 2) = 4 (7m + 11 ) 11 − ---< m . 7](https://img.zadania.info/zad/8914961/HzadR4x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a pierwiastki będą dodatnie gdy
![m + 3 0 < t1 + t2 = 2 ⋅m-−--2 ⇐ ⇒ 0 < (m + 3)(m − 2 ) ⇐ ⇒ ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (2,+ ∞ ) m + 1 0 < t1t2 = ------⇐ ⇒ 0 < (m + 1)(m − 2) ⇐ ⇒ m − 2 ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (2,+ ∞ ) m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (2,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/8914961/HzadR5x.gif)
W połączeniu z warunkiem na -ę mamy
.
Odpowiedź: