Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9989269

Liczby x = 1 i x = − 2 są pierwiastkami wielomianu  4 3 2 ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 . Wiedząc, że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2, oblicz a .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Na początku należy się zastanowić, jaką informację niesie fakt, że wielomian jest kwadratem innego wielomianu? Odpowiedź jest podobna jak dla liczb, jeżeli wielomian przez coś się dzieli to od razu dzieli się również przez kwadrat tego czegoś. W szczególności każdy z pierwiastków tego wielomianu musi być jego pierwiastkiem podwójnym.

Sposób I

Skoro x = 1 jest pierwiastkiem, to dzielimy przez (x − 1 ) . Robimy to jak kto umie, schemat Hornera, dzielenie wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to tą ostatnią metodą.

 4 3 2 ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 = (ax4 − ax3) + ax3 + 2x 3 − 3ax 2 + 2ax − 6x + 4 = 3 3 2 2 2 ax (x − 1) + ((a + 2)x − (a + 2)x ) + (a + 2)x − 3ax + 2ax − 6x + 4 = ax3(x − 1) + (a + 2)x2(x − 1 )+ ((2 − 2a)x 2 − (2 − 2a )x)+ (2− 2a)x+ 2ax − 6x + 4 = ax3(x − 1) + (a + 2)x2(x − 1 )+ (2 − 2a)x (x− 1)− 4x + 4 = 3 2 (x − 1)(ax + (a + 2)x + (2 − 2a)x − 4).

Jak już zauważyliśmy, x = 1 ma być również pierwiastkiem otrzymanego wielomianu stopnia 3. Łatwo sprawdzić, że istotnie tak jest. Dzielimy więc dalej.

 3 2 ax + (a+ 2)x + (2− 2a)x − 4 = (ax3 − ax2) + ((2a + 2)x2 − (2a + 2)x )+ 4x − 4 = 2 (x− 1)(ax + (2a + 2)x + 4).

Pozostało sprawdzić, kiedy trójmian w nawiasie jest pełnym kwadratem. Tak jest tylko wtedy gdy Δ = 0 (oba pierwiastki muszą być równe). Mamy więc równanie

4a2 + 8a+ 4− 16a = 0 2 a − 2a + 1 = 0 (a− 1 )2 = 0 a = 1.

Sposób II

Liczymy podobnie jak poprzednio, ale ponieważ wiemy, że dany wielomian ma się dzielić przez  2 (x − 1) , to dzielimy od razu przez ten wielomian, oszczędzi nam to kroku z wielomianem stonia 3.

 4 3 2 ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 = (ax 4 − 2ax 3 + ax2)+ 2ax3 − ax2 + 2x3 − 3ax 2 + 2ax − 6x + 4 = ax 2(x− 1)2 + ((2a + 2 )x3 − (2a+ 2)x2 + (2a+ 2)x)+ 2 2 3 2 + (2a + 2)x − (2a + 2)x − ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 = ax 2(x− 1)2 + (2a + 2)x(x − 1)2 + 4(x2 − 2x + 1) = = (x − 1 )2(ax2 + (2a+ 2)x+ 4).

Dalej postępujemy jak poprzednio.

Sposób III

Ponieważ znamy dwa pierwiastki tego wielomianu to wiemy, że musi on być postaci a(x − 1)2(x + 2)2 . Wymnażając a(x 2 − 2x + 1)(x2 + 4x + 4) otrzymujemy równanie

 4 3 2 4 3 2 ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 = a(x + 2x − 3x − 4x + 4).

Stąd a = 1 .

Sposób IV

Najprostsze rozwiązanie uzyskamy, jeżeli skorzystamy z prostego faktu, że liczba jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu. Wiemy zatem, że liczby 1 i -2 muszą być pierwiastkami pochodnej. Liczymy

 ′ 3 2 f(x ) = 4ax + 6x − 6ax + 2a− 6.

Sprawdzamy teraz, że  ′ f (1) = 0 , a  ′ f (− 2) = 0 daje a = 1 .  
Odpowiedź: a = 1

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!