Zadanie nr 1611076

Wykaż, że dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność 2 2 ba-+ ab-≥ a+ b .

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność.

2 2 b--+ a--≥ a + b / ⋅ ab a b b3 + a3 ≥ a2b + ab2.

Dalsze przekształcenia wykonamy na 2 sposoby.

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

3 3 2 2 a + b ≥ a b + ab (a + b)(a2 − ab + b2) ≥ ab(a + b).

Jeżeli a+ b = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że a + b > 0 . Możemy wtedy podzielić stronami przez a + b i mamy

2 2 a − ab + b ≥ ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność

a3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 3 2 3 2 a − a b + b − ab ≥ 0 a2(a − b) − b2(a − b) ≥ 0 2 2 (a − b )(a − b) ≥ 0 (a + b)(a − b)(a − b) ≥ 0 (a + b)(a − b)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.