/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 1949340

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli x > 0 i y > 0 to x+y- -2xy 2 ≥ x+y .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając z podanego założenia.

x + y 2xy ------≥ ------ / ⋅2(x + y) 2 x + y (x + y)2 ≥ 4xy 2 2 x + 2xy + y ≥ 4xy x2 − 2xy + y2 ≥ 0 (x − y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Sposób II

Tym razem przekształcamy bez mnożenia przez mianownik.

x + y 2xy ------≥ ------ 2 x+ y x-+-y- -2xy-- 2 − x + y ≥ 0 2 (x-+-y)--− ---4xy--- ≥ 0 2(x + y) 2 (x+ y) 2 2 x--+-y-+--2xy-−-4xy- ≥ 0 2(x+ y) (x − y)2 ---------≥ 0. 2(x + y)

Zarówno licznik jak i mianownik są nieujemne (bo z założenia x ,y > 0 ), zatem nierówność jest spełniona. Przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF