/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 2034185

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a < x , prawdziwa jest nierówność x + y−a-> 2 y x−a .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x y− a --+ ------> 2 /⋅ y(x− a) y x− a x(x − a) + y(y − a) > 2y (x− a) 2 2 x − ax + y − ay − 2xy + 2ay > 0 (x− y)2 + a(y− x) > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia a > 0 i y > x ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF