/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 2805688

Wykaż, że dla każdych czterech liczb dodatnich a,b,c i d takich, że a > b i a > c spełniona jest nierówność

-2a-- > --2a-+-d- . b + c b + c + d
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – korzystamy przy tym z tego, że każda z liczb: a,b,c i d jest dodatnia.

 -2a--> --2a+--d- / ⋅(b+ c)(b+ c + d) b+ c b + c + d 2a (b+ c+ d ) > (2a+ d)(b + c) 2ab + 2ac+ 2ad > 2ab + 2ac + db+ dc 2ad > db + dc / : d 2a > b+ c.

Ponieważ z założenia

2a = a+ a > a + c > b + c,

otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa. Prawdziwa jest więc też wyjściowa nierówność (bo są one równoważne).

Wersja PDF
spinner