/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 2894561

Niech m ,n ∈ R + , udowodnij, że jeżeli m + n = 1 to prawdziwa jest nierówność 1m-+ 1n ≥ 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z nierówności między średnimi: arytmetyczną i harmoniczną

a+ b 2 ------≥ 1----1. 2 -a + b

W szczególności, dla a = m i b = n mamy

--2----≤ m--+-n = 1- 1m-+ 1n 2 2 2-≤ 1-+ 1- 12 m n 1 1 4 ≤ -- + --. m n

Sposób II

Przekształćmy daną nierówność

1 1 --+ --≥ 4 m n m-+-n- ≥ 4 mn -1-- mn-- mn ≥ 4 / ⋅ 4 1 --≥ mn . 4

Aby wykazać tę ostatnią nierówność korzystamy z nierówności między średnimi: arytmetyczną i geometryczną

a + b √ --- ------≥ ab. 2

W szczególności dla a = m i b = n mamy

√ ---- m + n 1 mn ≤ ------ = -- /()2 2 2 mn ≤ 1-. 4

Sposób III

Tak jak poprzednio, przekształcamy nierówność do postaci

1 --≥ mn . 4

Aby uzasadnić tę nierówność, patrzymy na prawą stronę jak na funkcję zmiennej m ∈ ⟨0,1⟩ .

f(m ) = mn = m (1 − m ).

Wykresem tej funkcji jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej xw = 12 (dokładnie w środku między pierwiastkami).

PIC

Zatem największą możliwą wartością funkcji f jest

( 1) 1 1 1 f -- = --⋅--= -. 2 2 2 4

Stąd

1 mn = f(m ) ≤ --. 4
Wersja PDF