Zadanie nr 2894561
Niech , udowodnij, że jeżeli
to prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Sposób I
Korzystamy z nierówności między średnimi: arytmetyczną i harmoniczną

W szczególności, dla i
mamy

Sposób II
Przekształćmy daną nierówność

Aby wykazać tę ostatnią nierówność korzystamy z nierówności między średnimi: arytmetyczną i geometryczną

W szczególności dla i
mamy

Sposób III
Tak jak poprzednio, przekształcamy nierówność do postaci

Aby uzasadnić tę nierówność, patrzymy na prawą stronę jak na funkcję zmiennej .

Wykresem tej funkcji jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej (dokładnie w środku między pierwiastkami).

Zatem największą możliwą wartością funkcji jest

Stąd
