/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 3439933

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności: 0 < a < b < c , to

-----3---- > --2--. 1a + 1b + 1c 1a + 1b
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność

3 2 -1---1---1 > 1---1- a + b + c a + b ( 1 1) ( 1 1 1) 3 -+ -- > 2 --+ --+ -- a b a b c 1- 1- 2- a + b > c.

Zauważmy teraz, że z założenia c > a i c > b , więc rzeczywiście

1-+ 1-> 1-+ 1-= 2-. a b c c c

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność

3 2 -1---1---1 > 1---1- a + b + c a + b 3 2 -bc+ac+ab-> b+a- abc ab ----3abc----- -2ab-- bc + ac + ab > b + a / : ab -----3c------> --2--- / ⋅(b+ a)(bc+ ac+ ab ) bc + ac + ab b + a 3bc + 3ac > 2bc+ 2ac+ 2ab bc + ac > 2ab .

Zauważmy teraz, że z założenia c > a i c > b , więc

bc+ ac > ba + ab = 2ab .

To oznacza, że wyjściowa nierówność też jest spełniona (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Wersja PDF