Zadanie nr 4385665
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej takich, że , prawdziwa jest nierówność
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli , to
i wystarczy udowodnić nierówność
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Jeżeli , to
Wystarczy więc udowodnić nierówność
To ostatnią nierówność możemy uzasadnić na wiele różnych sposobów. Możemy skorzystać z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną:
Inny sposób, to wykorzystanie jedynki z lewej strony tak aby dostać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
Jeszcze inny sposób, to podstawienie do tej nierówności.
Sposób III
Zauważmy najpierw, że
Wystarczy więc udowodnić nierówność
Podstawiamy teraz w tej nierówności .
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.