/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 4609720

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

--4---≤ 3a-+-2b- 3b + 2a 6

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność korzystając z podanego założenia o dodatniości liczb a i b .

3a-+-2b-≥ --4---= --4---= --4ab--- / ⋅6(3a + 2b) 6 3b + 2a 3a+a2bb 3a + 2b 2 (3a+ 2b) ≥ 24ab 9a2 + 12ab + 4b2 ≥ 2 4ab 9a2 − 12ab + 4b2 ≥ 0 2 (3a− 2b) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Wersja PDF