/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 4878739

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x ,y prawdziwa jest nierówność y (x + 1)xy + (y + 1) x > 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x y (x+ 1)y-+ (y + 1) x-> 2 / ⋅xy x3 + x2 + y3 + y2 > 2xy 3 3 2 2 x + y + (x − 2xy + y ) > 0 x3 + y3 + (x− y)2 > 0

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Korzystamy z nierówności

a+ b √ --- ------≥ ab 2

między średnią arytmetyczną i geometryczną. Mamy zatem

(x + 1) x+ (y+ 1)y ∘ -------------------- ∘ --------------- --------y----------x ≥ (x + 1)x-⋅(y + 1) y-= (x+ 1)(y+ 1) > 1. 2 y x
Wersja PDF