/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 5108507

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + 1−xx--≥ 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny. Ponieważ x > 0 , możemy nierówność pomnożyć stronami przez x .

x+ 1-−-x-≥ 1 / ⋅x x x2 + (1− x) ≥ x x2 − 2x + 1 ≥ 0 2 (x− 1) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

1−--x- x + x ≥ 1 2 x-+--1−--x−--x-≥ 0 x (x− 1)2 ---------≥ 0. x

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo x > 0 ), więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF