Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5194122

Uzasadnij, że funkcja  2 2 f (x) = x + x przyjmuje dla dodatnich argumentów wartości nie mniejsze niż 3.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Wystarczy pokazać, zbiór rozwiązań nierówności

 2 x 2 + --≥ 3 x

zawiera wszystkie liczby dodatnie. Liczymy

 2 2 x + x-≥ 3 3 x--+-2-−-3x-≥ 0 x

Aby rozłożyć licznik szukamy jego miejsc zerowych. Łatwo znaleźć pierwiastek x = 1 . Dzielimy licznik przez x − 1 . My zrobimy to grupując wyrazy

x 3 + 2− 3x = (x3 − x2) + (x2 − x) − (2x − 2) = (x− 1)(x2 + x− 2).

Rozkładamy trójmian w nawiasie, Δ = 1+ 8 = 9 , x = − 2 lub x = 1 . Możemy więc zapisać naszą nierówność w postaci

 2 (x-−-1)-(x-+-2)-≥ 0. x

Ta nierówność jest oczywiście spełniona przez każdą liczbę dodatnią (bo każdy składnik jest nieujemny).

Na koniec, dla ciekawkich, wykres funkcji f(x)


PIC


Sposób II

Na mocy nierówności

 √ ---- a-+-b-+-c ≥ 3 abc 3

między średnimi arytmetyczną i geometryczną mamy

 2 1 1 ∘ --------- x2 + 2-= 3⋅ x-+--x-+-x-≥ 3 3x 2 ⋅ 1-⋅ 1-= 3. x 3 x x
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!