Zadanie nr 5310854
Dana jest funkcja określona dla . Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej , spełniona jest nierówność .
Rozwiązanie
Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.
Sposób I
Zauważmy, że jeżeli , to wyrażenia w obu nawiasach są nieujemne, więc ich iloczyn też jest nieujemny. Podobnie, jeżeli , to wyrażenia w obu nawiasach są ujemne, więc ich iloczyn jest dodatni.
Sposób II
Przekształcamy nierówność dalej – korzystamy ze wzory
na różnicę sześcianów. Mamy zatem
Pierwszy czynnik lewej strony jest oczywiście nieujemny, a wyrażenie w drugim nawiasie jest zawsze dodatnie (bo ).