/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 5619650

Wykaż, że dla każdej liczby a > 0 i dla każdej liczby b > 0 prawdziwa jest nierówność

1+ 1-≥ --4--. a b a+ b
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność korzystając z podanego założenia o dodatniości liczb a i b .

1+ 1-≥ --4--- / ⋅ab (a+ b ) a b a+ b b (a + b )+ a(a + b) ≥ 4ab 2 2 ab + b + a + ab − 4ab ≥ 0 a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Wersja PDF