/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 6286986

Wykaż, że jeżeli a ≥ b > 0 to

2 2 a-≥ b--+-3a-. b a2 + 3b2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 a-≥ b--+-3a-- b a2 + 3b2 a(a2 + 3b2) ≥ b(b2 + 3a 2) 3 2 3 2 a + 3ab − b − 3a b ≥ 0 a3 − 3a2b + 3ab 2 − b3 ≥ 0 (a − b)3 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia a ≥ b > 0 ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF