Zadanie nr 6576392
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że , więc daną nierówność możemy przekształcić do postaci
Aby rozłożyć wielomian z lewej strony nierówności szukamy jego pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego:
Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy teraz ten wielomian przez .
Tak się przyjemnie składa, że trójmian w pierwszym nawiasie to pełen kwadrat
więc mamy nierówność
Nierówność ta jest spełniona dla każdej liczby dodatniej . To oznacza, że wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).
Sposób II
Na mocy nierówności
między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich mamy