Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7929366

Udowodnij, że dla dowolnej ujemnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

4x + 1-≤ 4. x
Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny. Ponieważ x < 0 , możemy nierówność pomnożyć stronami przez x , ale musimy przy tym zmienić znak nierówności.

4x + 1-≤ 4 /⋅ x x 4x2 + 1 ≥ 4x 4x2 − 4x + 1 ≥ 0.

Prawdziwość otrzymanej nierówności uzasadnimy na dwa sposoby.

Sposób I

Zauważmy, że lewa strona nierówności to pełen kwadrat

4x 2 − 4x + 1 = (2x − 1)2.

To oczywiście oznacza, że nierówność ta jest zawsze spełniona.

Sposób II

Wykresem lewej strony nierówności (traktowanej jako funkcja zmiennej x ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę, której wierzchołek leży na osi Ox (bo Δ = 0 ). To oznacza, że nierówność ta rzeczywiście jest prawdziwa.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!