/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 8565151

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

-1-+ -1-≥ --2--. 2a 2b a+ b
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność korzystając z podanego założenia o dodatniości liczb a i b .

1--+ -1- ≥ --2--- / ⋅2ab(a + b) 2a 2b a + b b(a+ b)+ a(a+ b) ≥ 4ab 2 2 ab+ b + a + ab − 4ab ≥ 0 a2 − 2ab+ b2 ≥ 0 (a− b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Wersja PDF