Zadanie nr 3720752
Liczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które (w kolejności losowania) są zapisane w dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim.
Rozwiązanie
Powiedzmy, że uczniów jest . Zatem uporządkowanych trójek uczniów jest
![n(n − 1)(n− 2)](https://img.zadania.info/zad/3720752/HzadR1x.gif)
(pierwszego ucznia możemy wybrać na , drugiego na
, a trzeciego na
sposobów). Mamy więc równanie
![812n = n(n − 1 )(n− 2) 812 = (n− 1)(n − 2).](https://img.zadania.info/zad/3720752/HzadR5x.gif)
Można to równanie rozwiązać -ą, ale można też zgadnąć rozwiązanie: wystarczy zauważyć, że
![81 2 = 28 ⋅29.](https://img.zadania.info/zad/3720752/HzadR7x.gif)
Zatem , czyli
.
Zajmijmy się teraz prawdopodobieństwem. Za zdarzenia sprzyjające przyjmujemy uporządkowane trójki wylosowanych osób, więc
![|Ω | = 3 0⋅2 9⋅28 = 24360.](https://img.zadania.info/zad/3720752/HzadR10x.gif)
Jest dokładnie jedno zdarzenie sprzyjające, więc szukane prawdopodobieństwo jest równe
![1 p = ------. 243 60](https://img.zadania.info/zad/3720752/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: