Zadanie nr 1705012

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu.

∘ -------------- √ --- √ --- (a + c)(b + d) ≥ ab + cd /()2 √ ----- (a + c)(b+ d) ≥ ab + 2 abcd + cd √ ----- ab + ad + cb + cd ≥ ab + 2 abcd+ cd √ ----- 2 ad + cb ≥ 2 abcd / () (ad)2 + 2abcd + (cb)2 ≥ 4abcd 2 2 (ad) − 2abcd + (cb) ≥ 0 (ad − cb)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Sposób II

Zaczynamy tak samo jak poprzednio – podnosimy nierówność stronami do kwadratu i otrzymujemy nierówność.

----- ad+ cb ≥ 2√ abcd .

Przekształcamy dalej.

√ ----- ad − 2 abcd + cb ≥ 0 √ --- √ --- ( ad − cb)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.