/Konkursy/Zadania/Nierówności

Zadanie nr 1938450

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 (x + y)(x − xy + y + 3) ≥ 2(x + xy + y + 1) (x + y)(x2 − xy + y 2)+ 3(x + y ) ≥ 2(x2 + xy + y2 + 1) 3 3 2 2 x + y + 3x + 3y − 2x − 2xy − 2y − 2 ≥ 0 (x3 − 3x2 + 3x − 1) + (y3 − 3y2 + 3y − 1) + (x2 + y2 − 2xy ) ≥ 0 (x − 1)3 + (y− 1)3 + (x− y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF