/Konkursy/Zadania/Nierówności

Zadanie nr 5337099

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x(x − 3 )+ y (y− 3) ≥ xy − 9.

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x(x − 3) + y(y − 3 ) ≥ xy − 9 x2 − 3x + y2 − 3y ≥ xy − 9 / ⋅2 2 2 2x − 6x + 2y − 6y − 2xy + 18 ≥ 0 (x2 − 6x + 9) + (y2 − 6y + 9) + (x2 − 2xy + y2) ≥ 0 (x − 3)2 + (y − 3)2 + (x− y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF