Zadanie nr 5564957

Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √ ------√ ----- √ --- √ --- a+ b⋅ c + d ≥ ac+ bd .

Rozwiązanie

Sposób I

Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu.

√ ------ √ ----- √ --- √ --- a + b ⋅ c+ d ≥ ac+ bd / ()2 √ ----- (a + b)(c+ d) ≥ ac + 2 abcd + bd √ ----- ac + ad + bc√ +-bd-≥ ac + 2 abcd + bd ad + bc ≥ 2 abcd / ()2 (ad)2 + 2abcd + (bc)2 ≥ 4abcd 2 2 (ad) − 2abcd + (bc) ≥ 0 (ad − bc)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Sposób II

Zaczynamy tak samo jak poprzednio – podnosimy nierówność stronami do kwadratu i otrzymujemy nierówność.

----- ad+ bc ≥ 2√ abcd .

Przekształcamy dalej.

√ ----- ad − 2 abcd + bc ≥ 0 √ --- √ --- ( ad − bc)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.