/Konkursy/Zadania/Nierówności

Zadanie nr 7799106

Niech n będzie liczbą naturalną, a x i y dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że xn + yn = 1 . Udowodnij nierówność:

( ) ( ) n 1+-x-2k n 1+-y-2k ------1-------- ∑ 1+ x 4k ∑ 1+ y 4k < (1− x)(1 − y). k=1 k=1
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczniemy od lematu.

Lemat
Dla dowolnego t ∈ (0,1) zachodzi nierówność

1 + t2 1 ------ < -. 1 + t4 t

Dowód Wymnażając stronami dostajemy nierówność

3 4 t+ t < 1 + t 0 < t4 − t3 − t+ 1 0 < t3(t− 1 )− (t − 1) = (t3 − 1)(t− 1).

Ponieważ oba nawiasy są ujemne, nierówność jest spełniona.

Z powyższej nierówności mamy (dla t = xk )

1 + x2k 1 -----4k < -k. 1 + x x

Stąd

n 2k n -1 n n ∑ 1+--x-- < ∑ 1--= 1-⋅xn-−-1-= --1−-x----= ----y----- k=1 1+ x4k k=1 xk x 1x − 1 xn(1 − x) xn(1 − x )

Podobnie

n 2k n ∑ 1-+-y-- < ----x-----. k=11 + y 4k yn(1 − y)

Zatem

( ) ( ) n 1 + x2k n 1 + y2k yn xn 1 ∑ -----4k ∑ -----4k < -n--------⋅-n--------= ---------------. k= 11 + x k= 11 + y x (1 − x) y (1 − y ) (1 − x)(1 − y )

Sposób II

Skorzystamy z tzw. nierówności Karamaty

Twierdzenie
Niech I ⊆ R będzie przedziałem na prostej. Jeżeli dane są liczby t1,t2,...,tn ,s1,s2,...,sn ∈ I takie, że

t ≥ t ≥ ...≥ t 1 2 n s1 ≥ s2 ≥ ...≥ sn t ≥ s 1 1 t1 + t2 ≥ s1 + s2 t1 + t2 + t3 ≥ s1 + s2 + s3 ⋅⋅⋅ t1 + t2 + ⋅⋅⋅ + tn−1 ≥ s1 + s2 + ⋅⋅⋅+ sn− 1 t1 + t2 + ⋅⋅⋅ + tn = s1 + s2 + ⋅ ⋅⋅+ sn.

oraz funkcja wypukła f : I → R to

f (t1) + f (t2) + ⋅⋅⋅+ f(tn) ≥ f(s1) + f(s2) + ⋅⋅⋅+ f(sn).

Zaczniemy od lematu.

Lemat
Jeżeli x > 0 , to dla dowolnego k ≥ 1

1-+-x2k 1+--x2- --1-- 1 + x4k < 1+ x4 ⋅ xk−1 .

Dowód Wymnóżmy powyższą nierówność

(1 + x 2k)(xk− 1 + x3+k) < (1 + x4k)(1 + x2) k− 1 3+k 3k−1 3k+3 2 4k 4k+ 2 x + x + x + x < 1 + x + x + x

Aby uzasadnić tę nierówność wystarczy skorzystać z nierówności Karamaty dla funkcji f(t) = xt i ciągów

(t1,t2,t3) = (4k + 2,4k,2,0 ) (s1,s2,s3) = (3k + 3 ,3k− 1,k+ 3,k− 1).

Mamy zatem

n 1+ x 2k n 1+ x2 1 1 + x2 n 1 ∑ -----4k < ∑ -----4 ⋅-k−1-= -----4-∑ ⋅-k−-1 = k=1 1+ x k=1 1+ x x 1 + x k=1 x 1+ x2 1 − x−n 1 + x 2 xn+ 1 − x (1 + x2)x(1 − xn ) = -------⋅-------- = -------⋅ ----------= ------------------ = 1+ x4 1 − x− 1 1 + x 4 xn+1 − xn (1 + x4)xn (1− x ) yn (1 + x2)x = -n-⋅------4---------. x (1 + x )(1 − x )

Podobnie

n 1-+-x-2k xn- ---(1-+-y2)y---- ∑ 1 + x 4k < yn ⋅(1 + y4)(1 − y ). k= 1

Zatem nierówność, którą mamy udowodnić możemy zapisać w postaci

yn (1+ x2)x xn (1 + y 2)y 1 ---⋅ ----------------⋅---⋅ ----------------< --------------- xn (1+ x4)(1− x) yn (1+ y 4)(1− y ) (1 − x)(1 − y ) x + x 3 y+ y3 ------4 ⋅-----4-< 1. 1 + x 1+ y

Tę nierówność łatwo uzasadnić, ponownie korzystając z nierówności Karamaty

3 4 x + x < 1+ x

(dla ciągów (4,0) i (3,1) ).

Wersja PDF