/Konkursy/Zadania/Nierówności

Zadanie nr 8315206

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b,c ∈ R + zachodzi nierówność

2 2 2 a + b + c ≥ ab + ac + bc.

Rozwiązanie

Nierówność z treści zadania łatwo wynika z nierówności

2 2 2 a + b = (a− b) + 2ab ≥ 2ab a2 + c2 ≥ 2ac 2 2 b + c ≥ 2bc.

Dodając te nierówności stronami mamy

2 2 2 2a + 2b + 2c ≥ 2ab + 2ac+ 2bc a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac+ bc.
Wersja PDF