Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Funkcje

Definicje Ustalmy dwa zbiory: X i Y .

Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy dowolne przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje pewien element zbioru Y .

Jeżeli f jest funkcją spełniającą powyższą definicję to zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f , a zbiór Y jej przeciwdziedziną.

Jeżeli chcemy wyraźnie zaznaczyć jaka jest dziedzina lub przeciwdziedzina funkcji to używamy zapisu

f : X → Y .

Podkreślmy, że funkcja f : X → Y musi każdemu elementowi zbioru X przyporządkować dokładnie jeden element zbioru Y . Z drugiej strony, nie wszystkie elementy zbioru Y muszą być przyporządkowane pewnym elementom zbioru X .

Przyporządkowanie każdej osobie jej wieku jest funkcją określoną na zbiorze wszystkich ludzi.

Przyporządkowanie każdej osobie imienia jednego z jej braci nie jest funkcją, bo są osoby, które nie mają braci.
Wystarczy jednak, że ograniczymy to przyporządkowanie do osób, które mają braci (czyli zmienimy zbiór X ) i już dostaniemy funkcję.

Jeżeli funkcja f przyporządkowuje elementowi x ∈ X element y ∈ Y to piszemy y = f(x) i mówimy, że y jest wartością funkcji f dla argumentu x . Zbiór wszystkich wartości funkcji f nazywamy jej zbiorem wartości i oznaczamy symbolem f (X) – jest to zawsze podzbiór przeciwdziedziny Y . Różne sposoby określenia funkcji 1. Opis słowny. Tego typu definicje funkcji stosujemy co rusz w naszym codziennym życiu, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy.

Aktualna wartość indeksu giełdowego WIG20 w kolejnych dniach – za dziedzinę tej funkcji możemy przyjąć kartki kalendarza:)

Wzrost – funkcja określona na zbiorze wszystkich ludzi.

2. Graf. Tego typu definicje trudno znaleźć poza kartami podręczników do matematyki, ale mają one duży walor dydaktyczny, bo pozwalają łatwo obrazować różne własności funkcji.

Na pierwszym z poniższych diagramów mamy zaznaczone przyporządkowanie elementom zbioru X elementy zbioru Y , które jest funkcją. Przyporządkowanie z drugiego diagramu nie jest funkcją, bo jednemu z elementów zbioru X przyporządkowano dwa elementy zbioru Y .
PIC

3. Tabelka. Jeżeli zbiór X zawiera tylko skończenie wiele elementów, to całą funkcję możemy zapisać w tabelce. Tego typu sytuacja występuje dość często w przypadku wyników pomiarów.

Powiedzmy, że chcemy ustalić jak zmienia się ciśnienie atmosferyczne na kolejnych piętrach 10 piętrowego budynku. Wyniki takiego doświadczenia najwygodniej zanotować w tabeli.

piętro 012345678910
ciśnienie          

4. Wzór. Typowa sytuacja w przypadku funkcji liczbowych. Mając wzór funkcji f , czyli przepis na obliczanie jej wartości, możemy stosować różne matematyczne metody badania funkcji. Dział matematyki poświęcony temu zagadnieniu nazywa się analizą matematyczną.

Wzór  2 f (x) = x możemy przeczytać: funkcja f zamienia liczbę na jej kwadrat.

W przypadku funkcji określonych wzorem, zazwyczaj nie podaje się wyraźnie dziedziny funkcji. W takiej sytuacji domyślnie rozumiemy, że dziedzina jest największa możliwa, czyli jest to zbiór wszystkich liczb, dla których dany wzór ma sens.

Wzór  √x f(x) = x−-3- nie ma sensu dla x < 0 oraz dla x = 3 , zatem za dziedzinę przyjmujemy Df = ⟨0,3 )∪ (3,+ ∞ ) .

5. Wykres. Dość popularny motyw zadań szkolnych to odczytywanie własności funkcji z danego wykresu. Więcej na ten temat znajdziecie w poradniku dotyczącym wykresów funkcji.

Z poniższego wykresu funkcji y = f(x) odczytujemy jej dziedzinę: Df = ⟨− 7,− 2)∪ ⟨− 1,7 ) oraz zbiór wartości: (− 7,− 6) ∪ ⟨− 4,− 1⟩∪ ⟨1,3 ) .
PIC

Monotoniczność Niech f będzie funkcją liczbową, a X ⊆ R pewnym przedziałem zawartym w dziedzinie f .

Mówimy, że funkcja f jest rosnąca na przedziale X , jeżeli dla dowolnych x,y ∈ X spełniona jest implikacja

y > x ⇒ f (y) > f(x ).

Powyższy warunek należy zapamiętać w formie: dla większych argumentów funkcja przyjmuje większe wartości.

Uzasadnijmy, że funkcja dana wzorem y = x2 + 2x − 1 jest rosnąca na przedziale ⟨− 1,+ ∞ ) .
Jeżeli założymy, że y > x to

 2 2 f(y) − f(x) = y + 2y− 1− (x + 2x− 1) = = (y− x)(y+ x)+ 2(y − x) = (y − x )(y+ x+ 2).

Z założenia y > x wynika, że pierwszy nawias jest dodatni. Dodatniość drugiego nawiasu wynika z warunku y > x ≥ − 1 . W takim razie liczba z prawej strony nierówności jest dodatnia, co oznacza, że f (y) > f(x) .

Mówimy, że funkcja f jest malejąca na przedziale X , jeżeli dla dowolnych x,y ∈ X spełniona jest implikacja

y > x ⇒ f (y) < f(x ).

Powyższy warunek należy zapamiętać w formie: dla większych argumentów funkcja przyjmuje mniejsze wartości.

Uzasadnijmy, że funkcja f (x) = 1 x jest malejąca na przedziale (0,+ ∞ ) .
Jeżeli założymy, że y > x to

 1- 1- x-−-y- f(y) − f(x) = y − x = xy .

Na mocy założenia: y > x i x,y ∈ (0,+ ∞ ) , więc licznik jest ujemny, a mianownik dodatni. Zatem f (y) < f(x ) .

Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna na przedziale X jeżeli jest na tym przedziale rosnąca lub malejąca.

Uzasadnijmy, że funkcja f(x) = x 2 nie jest monotoniczna na zbiorze R .
Aby wykazać, że funkcja nie jest rosnąca wystarczy pokazać przykład dwóch liczb y > x , dla których f (y) ≤ f(x) . Łatwo to zrobić: f(1) = 1 < 2 = f(− 2) , pomimo, że 1 > − 2 .
Podobnie pokazujemy, że funkcja nie jest malejąca: wystarczy pokazać dwie liczby y > x , dla których f(y) ≥ f (x) . Na przykład f(2) = 4 > 1 = f(1) oraz 2 > 1 .

Parzystość Niech f będzie funkcją zdefiniowaną na zbiorze X ⊆ R oraz załóżmy, że zbiór X ma następującą własność: jeżeli x ∈ X to − x ∈ X . Geometrycznie to dodatkowe założenie oznacza, że zbiór X (jako podzbiór osi Ox ) jest symetryczny względem punktu x = 0 .

Funkcja f : X → R jest funkcją parzystą jeżeli dla dowolnego x ∈ X

f(−x ) = f (x).

Innymi słowy, wartość funkcji w x = − 1 jest taka sama jak wartość w x = 1 , wartość w x = − 2 jest taka sama jak wartość w x = 2 itd.

Uzasadnijmy, że funkcja dana wzorem f (x) = x4−2x2+5 |x|−1 jest parzysta.
Łatwo sprawdzić, że dziedziną funkcji jest zbiór R ∖ {− 1,1} , który jest symetryczny względem x = 0 . Pozostało sprawdzić, że f(−x ) = f(x) . Liczymy

 (−x-)4 −-2⋅(−x--)2 +-5 x4-−-2x-2 +-5 f(−x ) = |− x |− 1 = |x|− 1 = f(x).

Funkcja f : X → R jest funkcją nieparzystą jeżeli dla dowolnego x ∈ X

f(−x ) = −f (x ).

Sprawdźmy, że funkcja dana wzorem  x4− 2x2+ 5 f(x) = ----x--- jest nieparzysta.
Dziedziną jest zbiór R ∖ {0} , który jest symetryczny względem x = 0 . Pozostało sprawdzić, że f (−x ) = −f (x) . Liczymy

 (−x )4 − 2⋅ (−x )2 + 5 x4 − 2x 2 + 5 f(−x ) = ---------−x-----------= − ------x------= −f (x).

Funkcje y = sinx , y = tg x, y = ctgx są nieparzyste, a funkcja y = cosx jest parzysta.

Funkcja y = xn , gdzie n ∈ N jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą parzystą. Funkcja ta jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą nieparzystą.

Aby wykazać, że funkcja  2 y = x + x nie jest parzysta, wystarczy podać przykład wartości x , dla której f(x) ⁄= f (−x ) . Żaden problem:

f (1) = 2 ⁄= 0 = f(− 1).

Zauważmy, że ten sam przykład pokazuje, że funkcja f nie jest nieparzysta.

Okresowość Niech T > 0 .

Funkcja f jest funkcją okresową o okresie T jeżeli dla dowolnego x ∈ Df

f (x+ T) = f (x).

Powyższy warunek zwykle pamięta się w formie: wartości funkcji powtarzają się co T . Jeżeli istnieje najmniejsza liczba T o powyższej własności, to liczbę tę nazywamy okresem podstawowym funkcji f .

Funkcja y = sin x jest okresowa i jej okres podstawowy jest równy 2π .
PIC Okresowość widać wyraźnie na wykresie: znając tylko kawałek wykresu położony nad przedziałem ⟨0,2π ⟩ jesteśmy w stanie odtworzyć cały wykres – wystarczy przesuwać ten kawałek o wielokrotności 2π .
Zauważmy jeszcze, że każda dodatnia wielokrotność liczby 2π też jest okresem funkcji y = sin x . Jednak tylko 2 π jest okresem podstawowym (bo jest to najmniejszy możliwy okres).

Wyznaczmy okres podstawowy funkcji y = cos 2x .
Szukamy najmniejszej liczby T > 0 , dla której

cos 2(x+ T) = co s2x.

Korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów mamy

 2x + 2T + 2x 2x + 2T − 2x 0 = cos 2(x + T )− co s2x = − 2 sin--------------sin -------------- 2 2 0 = sin(2x + T )sin T.

Powyższa równość ma być spełniona dla dowolnej wartości x , czyli zerowy musi być drugi składnik (bo są wartości x , dla których pierwszy składnik jest niezerowy). Zatem sin T = 0 . Najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą ten warunek jest T = π .

Różnowartościowość Funkcja jest różnowartościowa jeżeli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Formalnie zapisujemy to następująco

Funkcja f jest różnowartościowa jeżeli dla dowolnych x ,y ∈ Df

x ⁄= y ⇒ f (x) ⁄= f (y).

W języku grafów, funkcja jest różnowartościowa, jeżeli żadne dwie strzałki nie prowadzą do tego samego punktu.
PIC Na przykład funkcja przedstawiona na lewym obrazku jest różnowartościowa, a funkcja z prawego obrazka nie jest.

Funkcja f (x) = x2 nie jest różnowartościowa, bo na przykład

f(− 1) = 1 = f (1),

pomimo, że − 1 ⁄= 1 .

Warto zapamiętać, że funkcje monotoniczne są różnowartościowe.

Jeżeli funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A , to jest ona na tym zbiorze różnowartościowa.

Można udowodnić, że funkcje wykładnicze y = ax i logarytmiczne y = loga x są monotoniczne (rosnące dla a > 1 i malejące dla a < 1 ), są więc różnowartościowe.
PIC

Bycie „na” Własność, o której chcemy mówić w tym rozdziale jest odrobinę bardziej egzotyczna od poprzednich, bo w zasadzie jest to bardziej własność zapisu f : X → Y , niż własność samego przyporządkowania. Dokładniej,

mówimy, że funkcja f : X → Y jest „na” zbiór Y jeżeli Y jest zbiorem wartości f .

Innymi słowy, funkcja jest „na” Y , jeżeli każdy element y zbioru Y jest postaci y = f (x) dla pewnego x ∈ X .

Funkcja f : X → Y przedstawiona na lewym diagramie jest „na” zbiór Y .
PIC Natomiast funkcja z prawego diagramu nie jest „na”, bo jest y -ek, który nie jest wartością funkcji.

Funkcja f : R → R dana wzorem f(x ) = x2 nie jest „na”, bo np. y = − 1 nie jest wartością funkcji f .
Jeżeli jednak tę samą funkcję zapiszemy w postaci f : R → ⟨0,+ ∞ ) to jest to już funkcja „na”.

Każda funkcja jest „na” swój zbiór wartości.

Funkcję f : X → Y , która jest jednocześnie różnowartościowa i „na” nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.