Definicja Wartością bezwzględną liczby 
nazywamy liczbę
Dla osób, które tę definicję widzą pierwszy raz wyjaśnijmy, że branie wartości bezwzględnej ma polegać na odrzuceniu znajdującego się przed liczbą znaku minus. Jeżeli tego znaku minus nie ma, to branie wartości bezwzględnej nic nie zmienia.
Dokładnie taki jest sens powyższego wzoru: jeżeli liczba 
jest nieujemna (czyli nie ma z przodu minusa), to 
; jeżeli natomiast liczba 
jest ujemna, to 
(ta operacja usuwa minus, bo dwa minusy dają plus).
Licznie wartości bezwzględnej sprowadza się do ustalenia, czy liczba, z której liczymy wartość bezwzględną jest ujemna, czy też nie, np.
Oś liczbowa O wartości bezwzględnej liczby 
warto jest myśleć w sposób geometryczny:
Liczba 
jest równa odległości liczby 
od punktu 
na osi liczbowej.
Odległość liczby 
od początku osi równa się 
. Dokładnie taka sama jest odległość od początku osi liczby 4.
W pierwszej chwili powyższa uwaga może wydawać się dość banalna, ale ma ona niezwykle użyteczne konsekwencje:
o ile 
.
Powyższe równoważności są użyteczne, gdyż pozwalają (w prostych sytuacjach) pozbyć się wartości bezwzględnej. Zanim jednak przejdziemy do przykładów, wyjaśnijmy skąd one się wzięły.
Równość 
spełniają liczby 
, które są odległe od 0 o 
. Na osi liczbowej są dwie liczby o tej własności: 
i 
(rysunek powyżej).
Nierówność 
spełniają liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 
. Jest to dokładnie przedział 
, czyli zbiór opisany nierównością 
.
Podobnie myślimy o słabej nierówności 
.
Nierówność 
spełniają liczby, których odległość od 0 jest większa od 
. Są to dokładnie te liczby, które znajdują się na prawo od 
(czyli 
) lub na lewo od 
(czyli 
). Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku słabej nierówności.
Rozwiążmy równanie 
.
Mamy
Z pierwszej równości otrzymujemy 
, a z drugiej 
.
Rozwiążmy równanie 
.
Mamy
Z pierwszego równania mamy
czyli 
lub 
. Druga równość daje
czyli 
lub 
.
Rozwiążmy nierówność 
.
Mamy
Rozwiązaniem jest więc przedział 
.
Rozwiążmy nierówność 
.
Liczymy
Rozwiązaniem jest więc zbiór 
.
Odległość na osi Widzieliśmy przed chwilą, że myślenie o liczbie 
w sposób geometryczny (jako odległości na osi) pozwala w prosty sposób rozwiązać nawet dość skomplikowane zadania.
Idąc za ciosem, spróbujmy jeszcze odrobinę wytężyć naszą wyobraźnię i ustalmy, jaka jest interpretacja geometryczna liczby 
? Odpowiedź jest niezwykle elegancka
Liczba 
jest równa odległości na osi liczb 
i 
.
Za uzasadnienie powyższego stwierdzenia niech służy poniższy rysunek.
Równanie 
jest spełnione przez liczby 
, które są odległe od liczby 3 o 5 jednostek. Gdy naszkicujemy oś liczbową, robi się jasne, że są dwie takie liczby 
oraz 
.
Rozwiązaniem nierówności 
jest zbiór liczb, których odległość od 2 jest mniejsza niż 4.
Jeżeli wykonamy obrazek, to widać, że jest to przedział 
Rozwiązaniem nierówności 
jest zbiór liczb, których odległość od -4 jest równa co najmniej 5.
Jeżeli wykonamy obrazek, to widać, że jest to zbiór
Rozwiążmy równanie 
.
Myśląc geometrycznie, powyższe równanie oznacza: szukamy liczb 
, których suma odległości od -2 i od 3 jest równa 5. Rysujemy oś liczbową i widzimy, że są dwie możliwości.
Jeżeli 
to suma odległości 
od -2 i 3 jest równa dokładnie długości przedziału 
, czyli jest równa 5.
Jeżeli natomiast 
, to odległość 
od jednego z końców tego przedziału jest większa niż 5, więc suma odległości będzie jeszcze większa.
Rozwiązaniem równania jest więc zbiór 
.
Definicja i przypadki W przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń z wartością bezwzględną, jedynym sposobem na pozbycie się jej, jest skorzystanie z definicji
Schemat jest następujący: dla każdego wyrażenia postaci 
rozważamy dwa przypadki, gdy 
(wtedy zastępujemy 
przez 
), oraz gdy 
(wtedy zastępujemy 
przez 
).
Rozwiążmy równanie 
.
Rozważamy dwa przypadki.
Jeżeli 
to mamy równanie
Rozwiązanie to nie spełnia założenia 
, więc je odrzucamy.
Jeżeli natomiast 
to równanie przybiera postać
Rozwiązanie to spełnia warunek 
, więc jest rozwiązaniem wyjściowego równania.
Rozwiążmy nierówność 
.
Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną jest nieujemne dla 
, a wyrażenie pod drugą dla 
. Daje to nam 3 przypadki.
Jeżeli 
to mamy nierówność
W połączeniu z warunkiem 
mamy w tym przypadku rozwiązanie: 
.
Jeżeli 
to mamy nierówność
W tym przypadku nierówność jest więc spełniona tożsamościowo.
Jeżeli 
to mamy
Zatem w tym przypadku mamy rozwiązanie: 
.
Zbierając razem rozwiązania ze wszystkich przypadków, rozwiązaniem jest zbiór 
.
Funkcja 
W wielu przykładach wygodnie jest myśleć o wartości bezwzględnej jako o funkcji 
. Korzystające ze wzoru
bez trudu rysujemy wykres tej funkcji
W podobny sposób rysujemy wykresy funkcji, w których wartość bezwzględna występuje w bardziej skomplikowanych wyrażeniach.
Sprawdźmy dla jakiej wartości parametru 
równanie
ma dwa rozwiązania.
Łatwo narysować wykres lewej strony: jest to wykres 
przesunięty o 3 jednostki do góry.
Z wykresu widać, że równanie ma dwa rozwiązania dla 
.
Raz jeszcze rozwiążmy nierówność 
. Tym razem posłużymy się jednak wykresem lewej strony. Rysujemy wykres funkcji
Z wykresu nie jest trudno odczytać, że rozwiązaniem nierówności jest przedział 
.
