/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 4462784

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność |x| |x−-2|- |x−-1|- x + x− 2 < 1 + x− 1 .

Rozwiązanie

Oczywiście musi być x ⁄∈ {0,1,2} . Aby opuścić wartości bezwględne rozważamy przypadki.

Jeżeli x < 0 to mamy nierówność

−x-- −-(x-−-2)- −-(x-−-1)- x + x − 2 < 1+ x − 1 − 1 − 1 < 1− 1 − 2 < 0.

Nierówność jest więc spełniona dla dowolnego x < 0 .

Jeżeli x ∈ (0,1) to mamy nierówność

x- −-(x-−-2)- −-(x-−-1)- x + x − 2 < 1+ x − 1 1− 1 < 1− 1 0 < 0.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.

Jeżeli x ∈ (1,2) to mamy nierówność

x − (x − 2) x − 1 --+ ----------< 1+ ------ x x − 2 x − 1 1− 1 < 1+ 1 0 < 2.

Nierówność jest więc spełniona dla dowolnego x ∈ (1 ,2) .

Jeżeli x > 2 to mamy nierówność

x-+ x-−-2-< 1+ x-−-1- x x − 2 x − 1 1 + 1 < 1+ 1 0 < 0.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.  
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,0) ∪ (1,2)

Wersja PDF