/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 4573292

Rozwiąż nierówność |2x − 6|+ |x+ 7| ≥ 17 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy podaną nierówność w postaci

2 |x − 3| + |x+ 7| ≥ 17.

Żeby móc opuścić wartości bezwzględne rozważymy 3 przypadki.

Jeżeli x < − 7 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i mamy nierówność

2(−x + 3) − (x + 7) ≥ 1 7 − 3x ≥ 1 8 / : (− 3) x ≤ −6 .

Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział (− ∞ ,− 7) .

Jeżeli − 7 ≤ x < 3 , to mamy nierówność

2(−x + 3) + (x + 7) ≥ 1 7 − x ≥ 4 x ≤ −4 .

co daje przedział rozwiązań ⟨− 7 ,− 4 ⟩ .

Jeżeli natomiast x ≥ 3 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są dodatnie i mamy nierówność

2(x − 3) + (x + 7) ≥ 17 3x ≥ 16 / : 3 16 x > --. 3

Zatem w tym przypadku zbiorem rozwiązań jest przedział ⟨ ) 16,+ ∞ 3 .

Łącząc wszystkie otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:

⟨ ) (− ∞ ,−4 ⟩∪ 16-,+ ∞ . 3

 
Odpowiedź: ⟨ ) (− ∞ ,− 4⟩ ∪ 16,+ ∞ 3

Wersja PDF