/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 9487936

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż nierówność |5 − x|+ 12 ≥ |2− 3x| .

Rozwiązanie

Zapiszmy nierówność w postaci

|x − 5 |+ 12 ≥ |3x − 2 |

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną zeruje się dla x = 5 , a wyrażenie pod drugą dla x = 23 , więc mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.
Jeżeli x ≥ 5 to mamy nierówność

x − 5 + 12 ≥ 3x − 2 9 ≥ 2x 9- 2 ≥ x.

Otrzymane rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem x ≥ 5 .
Jeżeli 5 > x ≥ 2 3 to mamy nierówność

5 − x + 12 ≥ 3x − 2 19 ≥ 4x 19- 4 ≥ x.

Mamy zatem w tym przypadku ⟨ ⟩ x ∈ 23 , 149 .
Jeżeli wreszcie 2 x < 3 to mamy

5 − x + 12 ≥ 2 − 3x 2x ≥ − 15 15 x ≥ − --. 2

Zatem w tym przypadku ⟨ ) x ∈ − 15-, 2 2 3 .
Rozwiązaniem danej nierówności jest więc zbiór

⟨ ) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ − 15, 2- ∪ 2-, 19 = − 15-, 19 . 2 3 3 4 2 4

Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji y = |5 − x|+ 12 − |2− 3x| .

PIC

 
Odpowiedź: ⟨ ⟩ − 152 , 194

Wersja PDF