/Szkoła średnia/Nierówności/Z wartością bezwzględną/Z parametrem

Zadanie nr 8085030

Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których nierówność |x + 3|+ |x − 2 | ≤ p nie ma rozwiązań.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że wyrażenia |x + 3| = |x − (− 3)| i |x− 2| to są dokładnie odległości liczby x na osi liczbowej od odpowiednio liczb -3 i 2. Jeżeli myślimy o tym w ten sposób, to widać, że są dwie zasadniczo różne sytuacje.

PIC

Jeżeli x ∈ ⟨− 3,2⟩ , to mamy

|x + 3|+ |x − 2| = 5

(odczytujemy to z obrazka, jest to po prostu długość przedziału ⟨− 3,2⟩ ).

Jeżeli natomiast x ⁄∈ ⟨− 3,2 ⟩ to

|x + 3|+ |x − 2| > 5

(odległość od przynajmniej jednego końca jest większa niż długość przedziału ⟨− 3,2⟩ ).

W takim razie wiemy, że najmniejsza możliwa wartości wyrażenia |x + 3|+ |x − 2 | to 5. To oznacza, że nierówność

|x + 3 |+ |x − 2| ≤ p

będzie miała rozwiązanie tylko dla p ≥ 5 . Zatem nie ma rozwiązań dla p < 5 .

Sposób II

Tym razem narysujmy wykres funkcji

( |{ x + 3 + x − 2 = 2x + 1 dla x ≥ 2 f(x ) = |x + 3 |+ |x − 2| = x + 3 − x + 2 = 5 dla 2 > x ≥ − 3 |( −x − 3 − x + 2 = − 2x− 1 dla − 3 > x.

Bez trudu rysujemy wykres.

PIC

Z wykresu widać, że podana nierówność nie ma rozwiązań dla p < 5 .  
Odpowiedź: p ∈ (− ∞ ,5)

Wersja PDF