/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Wartość bezwzględna/Z kwadratową

Zadanie nr 3726257

Naszkicuj wykres funkcji |(x+-3)(x−-1)| f (x) = x3+4x2+x− 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozłóżmy najpierw wyrażenie z mianownika. W tym celu wstawiamy do wielomianu dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby -1,1,-2,2,-3,3,-6,6, tak długo aż dla jakiejś wyjdzie 0 – wychodzi już dla 1 . Jak już mamy pierwiastek, to dzielimy wielomian przez (x-1) . Robimy to tak jak umiemy, schemat Hornera, dzielenie wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to tą ostatnią metodą.

3 2 x + 4x + x − 6 = x3 − x2 + x2 + 4x2 + x − 6 = 2 2 x (x − 1) + 5x − 5x + 5x + x − 6 = (x− 1)(x2 + 5x + 6).

Rozwiązujemy równanie kwadratowe w nawiasie, Δ = 25 − 24 = 1 , x = −2 lub x = −3 . Mamy zatem

f(x) = ---|(x+--3)(x-−-1)|---- (x− 1)(x + 2)(x + 3)) ({ ---(x+-3)(x−1)--- (x−1)(x+2)(x+ 3) dla x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,∞ ) = ( − --(x+-3)(x−1)--- dla x ∈ (− 3,− 2) ∪ (− 2,1) { (x−1)(x+ 2)(x+ 3) -1-- = x+2 dla x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,∞ ) − x1+2- dla x ∈ (− 3,− 2) ∪ (− 2,1)

Wykres funkcji y = -1-- x+2 to hiperbola przesunięta o dwie jednostki w lewo. W przypadku naszej funkcji, na przedziałach (− 3 ,−2 )∪ (− 2,1) musimy odbić ten wykres względem osi x . Możemy w takim razie naszkicować wykres (na rysunku są narysowane zarówno funkcja y = x1+2- jak i f (x ) ).

PIC

Wersja PDF