Zadanie nr 4047984

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wielomian

4 2 W (x) = x − 2x + mx (1+ x)− x = 0

ma 4 różne pierwiastki.

Rozwiązanie

Jeden pierwiastek widać gołym okiem: x = 0 . Możemy więc podzielić dany wielomian przez i pamiętać, że w dalszej części mają nam wychodzić niezerowe pierwiastki. Pozostaje nam równanie

x3 − 2x + m (1 + x) − 1 = 0 3 x + (m − 2)x + m − 1 = 0.

Nie bardzo widać co dalej, więc spróbujmy poszukać jakiegoś pierwiastka tego równania. Trochę kombinując można znaleźć: x = − 1 . W takim razie dzielimy wielomian przez x+ 1 (my jak zwykle grupujemy wyrazy).

x3 + (m − 2)x + m − 1 = x 3 + x 2 − (x 2 + x )+ (m − 1)x + (m − 1) = 2 = (x+ 1)(x − x + (m − 1)).

Teraz sprawdzamy, kiedy otrzymane równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki.

5 0 < Δ = 1 − 4(m − 1) = 5 − 4m ⇒ m < 4.

To jeszcze nie koniec, bo musimy sprawdzić, czy przypadkiem x = 0 lub x = − 1 nie jest pierwiastkiem tego trójmianu (bo mają być cztery różne pierwiastki). Sprawdzamy kiedy tak jest (wstawiamy x = 0 i x = −1 ) do trójmianu.